线性代数示例

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

解题步骤 1

乘以 $[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ 。

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解题步骤 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

解题步骤 1.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} 0 x - y + 1 z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

解题步骤 1.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - y + z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

解题步骤 2

Write as a linear system of equations.

$- y + z = 8$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上 $y$ 。

$z = 8 + y$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $z$ 替换成 $8 + y$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $8 + y$ 替换 $2 x + 2 y - 5 z = 15$ 中所有出现的 $z$ .

$2 x + 2 y - 5 (8 + y) = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 x + 2 y - 5 (8 + y)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$2 x + 2 y - 5 \cdot 8 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将 $- 5$ 乘以 $8$ 。

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

解题步骤 3.2.2.1.2

从 $2 y$ 中减去 $5 y$ 。

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

解题步骤 3.2.3

使用 $8 + y$ 替换 $- x - y + 3 z = 23$ 中所有出现的 $z$ .

$- x - y + 3 (8 + y) = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

解题步骤 3.2.4

化简左边。

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解题步骤 3.2.4.1

化简 $- x - y + 3 (8 + y)$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.4.1.1.1

运用分配律。

$- x - y + 3 \cdot 8 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

解题步骤 3.2.4.1.1.2

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

解题步骤 3.2.4.1.2

将 $- y$ 和 $3 y$ 相加。

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

解题步骤 3.3

将 $8$ 和 $y$ 重新排序。

$z = y + 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

解题步骤 3.4

在 $z = y + 8$ 中求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $y + 8 = z$ 。

$y + 8 = z$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

解题步骤 3.4.2

从等式两边同时减去 $8$ 。

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

解题步骤 3.5

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $z - 8$ 。

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解题步骤 3.5.1

使用 $z - 8$ 替换 $- x + 2 y + 24 = 23$ 中所有出现的 $y$ .

$- x + 2 (z - 8) + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

化简 $- x + 2 (z - 8) + 24$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1.1.1

运用分配律。

$- x + 2 z + 2 \cdot - 8 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

解题步骤 3.5.2.1.1.2

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

解题步骤 3.5.2.1.2

将 $- 16$ 和 $24$ 相加。

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

解题步骤 3.5.3

使用 $z - 8$ 替换 $2 x - 3 y - 40 = 15$ 中所有出现的 $y$ .

$2 x - 3 (z - 8) - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

解题步骤 3.5.4

化简左边。

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解题步骤 3.5.4.1

化简 $2 x - 3 (z - 8) - 40$ 。

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解题步骤 3.5.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.4.1.1.1

运用分配律。

$2 x - 3 z - 3 \cdot - 8 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

解题步骤 3.5.4.1.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 8$ 。

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

解题步骤 3.5.4.1.2

从 $24$ 中减去 $40$ 。

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

解题步骤 3.6

在 $2 x - 3 z - 16 = 15$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.6.1.1

在等式两边都加上 $3 z$ 。

$2 x - 16 = 15 + 3 z$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

解题步骤 3.6.1.2

在等式两边都加上 $16$ 。

$2 x = 15 + 3 z + 16$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

解题步骤 3.6.1.3

将 $15$ 和 $16$ 相加。

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

解题步骤 3.6.2

将 $2 x = 3 z + 31$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.6.2.1

将 $2 x = 3 z + 31$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

解题步骤 3.6.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

解题步骤 3.6.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

解题步骤 3.7

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ 。

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解题步骤 3.7.1

使用 $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ 替换 $- x + 2 z + 8 = 23$ 中所有出现的 $x$ .

$- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.7.2

化简左边。

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解题步骤 3.7.2.1

化简 $- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8$ 。

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解题步骤 3.7.2.1.1

运用分配律。

$- \frac{3 z}{2} - \frac{31}{2} + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.7.2.1.2

要将 $2 z$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 z}{2} + 2 z \cdot \frac{2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.7.2.1.3

组合 $2 z$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 z}{2} + \frac{2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.7.2.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 z + 2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.7.2.1.5

在公分母上合并分子。

$8 + \frac{- 3 z + 2 z \cdot 2 - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.7.2.1.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$8 + \frac{- 3 z + 4 z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.7.2.1.7

将 $- 3 z$ 和 $4 z$ 相加。

$8 + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.7.2.1.8

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.7.2.1.9

化简项。

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解题步骤 3.7.2.1.9.1

组合 $8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{8 \cdot 2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.7.2.1.9.2

在公分母上合并分子。

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.7.2.1.10

化简分子。

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解题步骤 3.7.2.1.10.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{16 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.7.2.1.10.2

从 $16$ 中减去 $31$ 。

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.8

在 $\frac{z - 15}{2} = 23$ 中求解 $z$ 。

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解题步骤 3.8.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.8.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.8.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.8.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.2.1.1.1

约去公因数。

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.8.2.1.1.2

重写表达式。

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.8.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.8.2.2.1

将 $2$ 乘以 $23$ 。

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.8.3

将所有不包含 $z$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.8.3.1

在等式两边都加上 $15$ 。

$z = 46 + 15$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.8.3.2

将 $46$ 和 $15$ 相加。

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

解题步骤 3.9

将每个方程中所有出现的 $z$ 替换成 $61$ 。

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解题步骤 3.9.1

使用 $61$ 替换 $x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ 中所有出现的 $z$ .

$x = \frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

解题步骤 3.9.2

化简右边。

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解题步骤 3.9.2.1

化简 $\frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$ 。

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解题步骤 3.9.2.1.1

在公分母上合并分子。

$x = \frac{3 (61) + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

解题步骤 3.9.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 3.9.2.1.2.1

将 $3$ 乘以 $61$ 。

$x = \frac{183 + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

解题步骤 3.9.2.1.2.2

将 $183$ 和 $31$ 相加。

$x = \frac{214}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

解题步骤 3.9.2.1.2.3

用 $214$ 除以 $2$ 。

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

解题步骤 3.9.3

使用 $61$ 替换 $y = z - 8$ 中所有出现的 $z$ .

$y = (61) - 8$

$x = 107$

$z = 61$

解题步骤 3.9.4

化简右边。

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解题步骤 3.9.4.1

从 $61$ 中减去 $8$ 。

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

解题步骤 3.10

列出所有解。

$y = 53, x = 107, z = 61$

线性代数 示例

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